一、归并排序
归并排序是建立在归并操作上的一种有效的排序算法,该算法是采用分治法（divide and conquer）的一个非常典型的应用。将已有序的子序列合并，得到完全有序的序列；即先使每个子序列有序，再使子序列段间有序。若将两个有序表合并成一个有序表，称为二路归并。
归并过程为：比较a[i]和a[j]的大小，若a[i]≤a[j]，则将第一个有序表中的元素a[i]复制到r[k]中，并令i和k分别加上1；否则将第二个有序表中的元素a[j]复制到r[k]中，并令j和k分别加上1，如此循环下去，直到其中一个有序表取完，然后再将另一个有序表中剩余的元素复制到r中从下标k到下标t的单元。归并排序的算法我们通常用递归实现，先把待排序区间[s,t]以中点二分，接着把左边子区间排序，再把右边子区间排序，最后把左区间和右区间用一次归并操作合并成有序的区间[s,t]。
二、归并操作
三、两路归并算法
1、算法基本思路
设两个有序的子文件(相当于输入堆)放在同一向量中相邻的位置上：r[low..m]，r[m+1..high]，先将它们合并到一个局部的暂存向量r1(相当于输出堆)中，待合并完成后将r1复制回r[low..high]中。
（1）合并过程
合并过程中，设置i，j和p三个指针，其初值分别指向这三个记录区的起始位置。合并时依次比较r[i]和r[j]的关键字，取关键字较小的记录复制到r1[p]中，然后将被复制记录的指针i或j加1，以及指向复制位置的指针p加1。
重复这一过程直至两个输入的子文件有一个已全部复制完毕(不妨称其为空)，此时将另一非空的子文件中剩余记录依次复制到r1中即可。
（2）动态申请r1
实现时，r1是动态申请的，因为申请的空间可能很大，故须加入申请空间是否成功的处理。
2、归并算法
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void merge(seqlist r，int low，int m，int high) {//将两个有序的子文件r[low..m)和r[m+1..high]归并成一个有序的 //子文件r[low..high] int i=low，j=m+1，p=0； //置初始值 rectype *r1； //r1是局部向量，若p定义为此类型指针速度更快 r1=(reetype *)malloc((high-low+1)*sizeof(rectype))； if(! r1) //申请空间失败 error("insufficient memory available!")； while(i<=m&&j<=high) //两子文件非空时取其小者输出到r1[p]上 r1[p++]=(r[i].key<=r[j].key)?r[i++]：r[j++]； while(i<=m) //若第1个子文件非空，则复制剩余记录到r1中 r1[p++]=r[i++]； while(j<=high) //若第2个子文件非空，则复制剩余记录到r1中 r1[p++]=r[j++]； for(p=0，i=low；i<=high；p++，i++) r[i]=r1[p]；//归并完成后将结果复制回r[low..high] } //merge |
四、归并排序
归并排序有两种实现方法：自底向上和自顶向下。下面说说自顶向下的方法
（1）分治法的三个步骤
设归并排序的当前区间是r[low..high]，分治法的三个步骤是：
①分解：将当前区间一分为二，即求分裂点
②求解：递归地对两个子区间r[low..mid]和r[mid+1..high]进行归并排序；
③组合：将已排序的两个子区间r[low..mid]和r[mid+1..high]归并为一个有序的区间r[low..high]。
递归的终结条件：子区间长度为1（一个记录自然有序）。
（2）具体算法
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void mergesortdc(seqlist r，int low，int high) {//用分治法对r[low..high]进行二路归并排序 int mid； if(low<high){//区间长度大于1 mid=(low+high)/2； //分解 mergesortdc(r，low，mid); //递归地对r[low..mid]排序 mergesortdc(r，mid+1，high)； //递归地对r[mid+1..high]排序 merge(r，low，mid，high)； //组合，将两个有序区归并为一个有序区 } }//mergesortdc |
（3）算法mergesortdc的执行过程
算法mergesortdc的执行过程如下图所示的递归树。
五、算法分析
1、稳定性
归并排序是一种稳定的排序。
2、存储结构要求
可用顺序存储结构。也易于在链表上实现。
3、时间复杂度
对长度为n的文件，需进行 趟二路归并，每趟归并的时间为o(n)，故其时间复杂度无论是在最好情况下还是在最坏情况下均是o(nlgn)。
4、空间复杂度
需要一个辅助向量来暂存两有序子文件归并的结果，故其辅助空间复杂度为o(n)，显然它不是就地排序。
注意：
若用单链表做存储结构，很容易给出就地的归并排序。
5、比较操作的次数介于(nlogn) / 2和nlogn - n + 1。
6、赋值操作的次数是(2nlogn)。归并算法的空间复杂度为：0 (n)
7、归并排序比较占用内存，但却是一种效率高且稳定的算法。
六、代码实现
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public class mergesorttest { public static void main(string[] args) { int[] data = new int[] { 2, 4, 7, 5, 8, 1, 3, 6 }; system.out.print("初始化：\t"); print(data); system.out.println(""); mergesort(data, 0, data.length - 1); system.out.print("\n排序后: \t"); print(data); } public static void mergesort(int[] data, int left, int right) { if (left >= right) return; //两路归并 // 找出中间索引 int center = (left + right) / 2; // 对左边数组进行递归 mergesort(data, left, center); // 对右边数组进行递归 mergesort(data, center + 1, right); // 合并 merge(data, left, center, center + 1, right); system.out.print("排序中:\t"); print(data); } /** * 将两个数组进行归并，归并前面2个数组已有序，归并后依然有序 * * @param data * 数组对象 * @param leftstart * 左数组的第一个元素的索引 * @param leftend * 左数组的最后一个元素的索引 * @param rightstart * 右数组第一个元素的索引 * @param rightend * 右数组最后一个元素的索引 */ public static void merge(int[] data, int leftstart, int leftend, int rightstart, int rightend) { int i = leftstart; int j = rightstart; int k = 0; // 临时数组 int[] temp = new int[rightend - leftstart + 1]; //创建一个临时的数组来存放临时排序的数组 // 确认分割后的两段数组是否都取到了最后一个元素 while (i <= leftend && j <= rightend) { // 从两个数组中取出最小的放入临时数组 if (data[i] > data[j]) { temp[k++] = data[j++]; } else { temp[k++] = data[i++]; } } // 剩余部分依次放入临时数组（实际上两个while只会执行其中一个） while (i <= leftend) { temp[k++] = data[i++]; } while (j <= rightend) { temp[k++] = data[j++]; } k = leftstart; // 将临时数组中的内容拷贝回原数组中 // （原left-right范围的内容被复制回原数组） for (int element : temp) { data[k++] = element; } } public static void print(int[] data) { for (int i = 0; i < data.length; i++) { system.out.print(data[i] + "\t"); } system.out.println(); } } |
七、运行结果
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初始化： 2 4 7 5 8 1 3 6 排序中: 2 4 7 5 8 1 3 6排序中: 2 4 5 7 8 1 3 6排序中: 2 4 5 7 8 1 3 6排序中: 2 4 5 7 1 8 3 6排序中: 2 4 5 7 1 8 3 6排序中: 2 4 5 7 1 3 6 8排序中: 1 2 3 4 5 6 7 8 排序后: 1 2 3 4 5 6 7 8 |
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