C++计算任意权值的单源最短路径（Bellman-Ford）

本文实例为大家分享了C++计算任意权值单源最短路径的具体代码，供大家参考，具体内容如下

一、有Dijkstra算法求最短路径了，为什么还要用Bellman-Ford算法

Dijkstra算法不适合用于带有负权值的有向图。

如下图：

用Dijkstra算法求顶点0到各个顶点的最短路径：

（1）首先,把顶点0添加到已访问顶点集合S中，选取权值最小的邻边<0, 2>，权值为5

记录顶点2的最短路径为：dist[2]=5, path[2]=0,把顶点2添加到集合S中。

顶点2，没有邻边(从顶点2出发，其他顶点为终点的边)，结束；

（2）访问<0, 1>边，权值为7，把顶点7添加到顶点集合S中，dist[1]=7, path[1]=0。

虽然，顶点1有邻边<1,2>，但是因为顶点2已在集合S中，所以，不继续修改，结束程序。

所以，最终dist[1]=7,dist[2]=5。显然结果不对，顶点2的最短路径应为：0->1->2，权值为7+（-5）=2

二、Bellman-Ford算法思路：

Bellman-Ford算法，效率低，但是适合用于求带有负权值的单源最短路径。

不考虑有回路的，如下图，顶点0到顶点1的最短路径可以无穷小

下面开始简单描述Bellman-Ford的思路：

可以，看到：通过绕过一些顶点，可以取得更短的路径长度

当k=1时，即从源点（顶点0）到其他顶点，只需要一条边。有<0,1>、<0,2>、<0,3>，所以有：dist[1]=6，dist[2]=5，dist[3]=5；

当k=2时，需要2条边的，u=1，有0->2->3，长度为：5+（-2）=3， 更短，所以要修改dist[1]=3;

u=2,有：0->3->2，长度为：5+(-2)=3,更短，所以要修改dist[2]=3;

u=3，没有两条边从顶点0到达顶点3的路径；

u=4，有0->1->4，长度为：6+（-1）=5， 更短，所以要修改dist[4]=5;

u=5，有0->3->5，长度为：5+（-1）=4，更短，所以要修改dist[5]=4;

u=6，没有2条边就可以从顶点0到顶点6的路径。

重复上面步骤，直到k=n-1结束程序。

三、实现程序：

1.Graph.h：有向图

1. #ifndef Graph_h
2. #define Graph_h
3.  
4. #include <iostream>
5. using namespace std;
6.  
7. const int DefaultVertices = 30;
8.  
9. template <class T, class E>
10. struct Edge { // 边结点的定义
11. int dest; // 边的另一顶点位置
12. E cost; // 表上的权值
13. Edge<T, E> *link; // 下一条边链指针
14. };
15.  
16. template <class T, class E>
17. struct Vertex { // 顶点的定义
18. T data; // 顶点的名字
19. Edge<T, E> *adj; // 边链表的头指针
20. };
21.  
22. template <class T, class E>
23. class Graphlnk {
24. public:
25. const E maxValue = 100000; // 代表无穷大的值（=∞）
26. Graphlnk(int sz=DefaultVertices); // 构造函数
27. ~Graphlnk(); // 析构函数
28. void inputGraph(); // 建立邻接表表示的图
29. void outputGraph(); // 输出图中的所有顶点和边信息
30. T getValue(int i); // 取位置为i的顶点中的值
31. E getWeight(int v1, int v2); // 返回边（v1， v2）上的权值
32. bool insertVertex(const T& vertex); // 插入顶点
33. bool insertEdge(int v1, int v2, E weight); // 插入边
34. bool removeVertex(int v); // 删除顶点
35. bool removeEdge(int v1, int v2); // 删除边
36. int getFirstNeighbor(int v); // 取顶点v的第一个邻接顶点
37. int getNextNeighbor(int v,int w); // 取顶点v的邻接顶点w的下一邻接顶点
38. int getVertexPos(const T vertex); // 给出顶点vertex在图中的位置
39. int numberOfVertices(); // 当前顶点数
40. private:
41. int maxVertices; // 图中最大的顶点数
42. int numEdges; // 当前边数
43. int numVertices; // 当前顶点数
44. Vertex<T, E> * nodeTable; // 顶点表(各边链表的头结点)
45. };
46.  
47. // 构造函数:建立一个空的邻接表
48. template <class T, class E>
49. Graphlnk<T, E>::Graphlnk(int sz) {
50. maxVertices = sz;
51. numVertices = 0;
52. numEdges = 0;
53. nodeTable = new Vertex<T, E>[maxVertices]; // 创建顶点表数组
54. if(nodeTable == NULL) {
55. cerr << "存储空间分配错误！" << endl;
56. exit(1);
57. }
58. for(int i = 0; i < maxVertices; i++)
59. nodeTable[i].adj = NULL;
60. }
61.  
62. // 析构函数
63. template <class T, class E>
64. Graphlnk<T, E>::~Graphlnk() {
65. // 删除各边链表中的结点
66. for(int i = 0; i < numVertices; i++) {
67. Edge<T, E> *p = nodeTable[i].adj; // 找到其对应链表的首结点
68. while(p != NULL) { // 不断地删除第一个结点
69. nodeTable[i].adj = p->link;
70. delete p;
71. p = nodeTable[i].adj;
72. }
73. }
74. delete []nodeTable; // 删除顶点表数组
75. }
76.  
77. // 建立邻接表表示的图
78. template <class T, class E>
79. void Graphlnk<T, E>::inputGraph() {
80. int n, m; // 存储顶点树和边数
81. int i, j, k;
82. T e1, e2; // 顶点
83. E weight; // 边的权值
84.  
85. cout << "请输入顶点数和边数：" << endl;
86. cin >> n >> m;
87. cout << "请输入各顶点：" << endl;
88. for(i = 0; i < n; i++) {
89. cin >> e1;
90. insertVertex(e1); // 插入顶点
91. }
92.  
93. cout << "请输入图的各边的信息：" << endl;
94. i = 0;
95. while(i < m) {
96. cin >> e1 >> e2 >> weight;
97. j = getVertexPos(e1);
98. k = getVertexPos(e2);
99. if(j == -1 || k == -1)
100. cout << "边两端点信息有误，请重新输入！" << endl;
101. else {
102. insertEdge(j, k, weight); // 插入边
103. i++;
104. }
105. } // while
106. }
107.  
108. // 输出有向图中的所有顶点和边信息
109. template <class T, class E>
110. void Graphlnk<T, E>::outputGraph() {
111. int n, m, i;
112. T e1, e2; // 顶点
113. E weight; // 权值
114. Edge<T, E> *p;
115.  
116. n = numVertices;
117. m = numEdges;
118. cout << "图中的顶点数为" << n << ",边数为" << m << endl;
119. for(i = 0; i < n; i++) {
120. p = nodeTable[i].adj;
121. while(p != NULL) {
122. e1 = getValue(i); // 有向边<i, p->dest>
123. e2 = getValue(p->dest);
124. weight = p->cost;
125. cout << "<" << e1 << ", " << e2 << ", " << weight << ">" << endl;
126. p = p->link; // 指向下一个邻接顶点
127. }
128. }
129. }
130.  
131. // 取位置为i的顶点中的值
132. template <class T, class E>
133. T Graphlnk<T, E>::getValue(int i) {
134. if(i >= 0 && i < numVertices)
135. return nodeTable[i].data;
136. return NULL;
137. }
138.  
139. // 返回边（v1， v2）上的权值
140. template <class T, class E>
141. E Graphlnk<T, E>::getWeight(int v1, int v2) {
142. if(v1 != -1 && v2 != -1) {
143. if(v1 == v2) // 说明是同一顶点
144. return 0;
145. Edge<T , E> *p = nodeTable[v1].adj; // v1的第一条关联的边
146. while(p != NULL && p->dest != v2) { // 寻找邻接顶点v2
147. p = p->link;
148. }
149. if(p != NULL)
150. return p->cost;
151. }
152. return maxValue; // 边(v1, v2)不存在,就存放无穷大的值
153. }
154.  
155. // 插入顶点
156. template <class T, class E>
157. bool Graphlnk<T, E>::insertVertex(const T& vertex) {
158. if(numVertices == maxVertices) // 顶点表满，不能插入
159. return false;
160. nodeTable[numVertices].data = vertex; // 插入在表的最后
161. numVertices++;
162. return true;
163. }
164.  
165. // 插入边
166. template <class T, class E>
167. bool Graphlnk<T, E>::insertEdge(int v1, int v2, E weight) {
168. if(v1 == v2) // 同一顶点不插入
169. return false;
170. if(v1 >= 0 && v1 < numVertices && v2 >= 0 && v2 < numVertices) {
171. Edge<T, E> *p = nodeTable[v1].adj; // v1对应的边链表头指针
172. while(p != NULL && p->dest != v2) // 寻找邻接顶点v2
173. p = p->link;
174. if(p != NULL) // 已存在该边，不插入
175. return false;
176. p = new Edge<T, E>; // 创建新结点
177. p->dest = v2;
178. p->cost = weight;
179. p->link = nodeTable[v1].adj; // 链入v1边链表
180. nodeTable[v1].adj = p;
181. numEdges++;
182. return true;
183. }
184. return false;
185. }
186.  
187. // 有向图删除顶点较麻烦
188. template <class T, class E>
189. bool Graphlnk<T, E>::removeVertex(int v) {
190. if(numVertices == 1 || v < 0 || v > numVertices)
191. return false; // 表空或顶点号超出范围
192.  
193. Edge<T, E> *p, *s;
194. // 1.清除顶点v的边链表结点w 边<v,w>
195. while(nodeTable[v].adj != NULL) {
196. p = nodeTable[v].adj;
197. nodeTable[v].adj = p->link;
198. delete p;
199. numEdges--; // 与顶点v相关联的边数减1
200. } // while结束
201. // 2.清除<w, v>，与v有关的边
202. for(int i = 0; i < numVertices; i++) {
203. if(i != v) { // 不是当前顶点v
204. s = NULL;
205. p = nodeTable[i].adj;
206. while(p != NULL && p->dest != v) {// 在顶点i的链表中找v的顶点
207. s = p;
208. p = p->link; // 往后找
209. }
210. if(p != NULL) { // 找到了v的结点
211. if(s == NULL) { // 说明p是nodeTable[i].adj
212. nodeTable[i].adj = p->link;
213. } else {
214. s->link = p->link; // 保存p的下一个顶点信息
215. }
216. delete p; // 删除结点p
217. numEdges--; // 与顶点v相关联的边数减1
218. }
219. }
220. }
221. numVertices--; // 图的顶点个数减1
222. nodeTable[v].data = nodeTable[numVertices].data; // 填补,此时numVertices，比原来numVertices小1，所以，这里不需要numVertices-1
223. nodeTable[v].adj = nodeTable[numVertices].adj;
224. // 3.要将填补的顶点对应的位置改写
225. for(int i = 0; i < numVertices; i++) {
226. p = nodeTable[i].adj;
227. while(p != NULL && p->dest != numVertices) // 在顶点i的链表中找numVertices的顶点
228. p = p->link; // 往后找
229. if(p != NULL) // 找到了numVertices的结点
230. p->dest = v; // 将邻接顶点numVertices改成v
231. }
232. return true;
233. }
234.  
235. // 删除边
236. template <class T, class E>
237. bool Graphlnk<T, E>::removeEdge(int v1, int v2) {
238. if(v1 != -1 && v2 != -1) {
239. Edge<T, E> * p = nodeTable[v1].adj, *q = NULL;
240. while(p != NULL && p->dest != v2) { // v1对应边链表中找被删除边
241. q = p;
242. p = p->link;
243. }
244. if(p != NULL) { // 找到被删除边结点
245. if(q == NULL) // 删除的结点是边链表的首结点
246. nodeTable[v1].adj = p->link;
247. else
248. q->link = p->link; // 不是，重新链接
249. delete p;
250. return true;
251. }
252. }
253. return false; // 没有找到结点
254. }
255.  
256. // 取顶点v的第一个邻接顶点
257. template <class T, class E>
258. int Graphlnk<T, E>::getFirstNeighbor(int v) {
259. if(v != -1) {
260. Edge<T, E> *p = nodeTable[v].adj; // 对应链表第一个边结点
261. if(p != NULL) // 存在，返回第一个邻接顶点
262. return p->dest;
263. }
264. return -1; // 第一个邻接顶点不存在
265. }
266.  
267. // 取顶点v的邻接顶点w的下一邻接顶点
268. template <class T, class E>
269. int Graphlnk<T, E>::getNextNeighbor(int v,int w) {
270. if(v != -1) {
271. Edge<T, E> *p = nodeTable[v].adj; // 对应链表第一个边结点
272. while(p != NULL && p->dest != w) // 寻找邻接顶点w
273. p = p->link;
274. if(p != NULL && p->link != NULL)
275. return p->link->dest; // 返回下一个邻接顶点
276. }
277. return -1; // 下一个邻接顶点不存在
278. }
279.  
280. // 给出顶点vertex在图中的位置
281. template <class T, class E>
282. int Graphlnk<T, E>::getVertexPos(const T vertex) {
283. for(int i = 0; i < numVertices; i++)
284. if(nodeTable[i].data == vertex)
285. return i;
286. return -1;
287. }
288.  
289. // 当前顶点数
290. template <class T, class E>
291. int Graphlnk<T, E>::numberOfVertices() {
292. return numVertices;
293. }
294.  
295. #endif /* Graph_h */

2.Bellman-Ford.h

1. #ifndef Bellman_Ford_h
2. #define Bellman_Ford_h
3. #include "Graph.h"
4.  
5. // Bellman-Ford算法
6. template<class T, class E>
7. void BellmanFord(Graphlnk<T, E> &G, int v, E dist[], int path[]) {
8. int i, k, u, n = G.numberOfVertices();
9. E w;
10.  
11. // 1.初始化，将顶点v作为u顶点（存在<v, u>有向边）的上一个顶点，记录路径
12. for(i = 0; i < n; i++) {
13. dist[i] = G.getWeight(v, i);
14. if(i != v && dist[i] < G.maxValue)
15. path[i] = v;
16. else
17. path[i] = -1;
18. }
19. // 2.迭代求解：反复对边集E中的每条边进行松弛操作，使得顶点集V中的每个顶点的最短距离估计值逐步逼近其最短距离；（运行n-1次,因为上面算是1次:k=1，所以，k从2开始）
20. bool isFlag; // 监视该轮dist数组是否有变化
21. for(k = 2; k < n; k++) {
22. isFlag = false;
23. for(u = 0; u < n; u++) { // 遍历顶点，找不是v的顶点
24. if(u != v) {
25. for(i = 0; i < n; i++) {
26. w = G.getWeight(i, u);
27. if(w != 0 && w < G.maxValue && dist[u] > dist[i] + w) {
28. // 存在<i, u>边，并且绕过i,使得路径更短，就修改u顶点的最短路径
29. // w可能是负权值，如果i和u是同一顶点，则w是0，排除同一顶点的情况
30. // 也可以不写w!=0，因为同一顶点，w=0,dist[u]==dist[i]+w会不满足
31. // dist[u] > dist[i] + w这个条件
32. dist[u] = dist[i] + w;
33. path[u] = i; // 记忆路径
34. isFlag = true;
35. }
36. } // 第3重循环
37. }
38. } // 第2重循环
39. if(isFlag == false) // 如果dist数组没有变化，说明各个顶点已求得最短路径
40. break;
41. } // 第1重for循环
42. }
43.  
44. // 从path数组读取最短路径的算法
45. template <class T, class E>
46. void printShortestPath(Graphlnk<T, E> &G, int v, E dist[], int path[]) {
47. int i, j, k, n = G.numberOfVertices();
48. int *d = new int[n];
49.  
50. cout << "从顶点" << G.getValue(v) << "到其他各顶点的最短路径为：" << endl;
51. for(i = 0; i < n; i++) {
52. if(i != v) { // 如果不是顶点v
53. j = i;
54. k = 0;
55. while(j != v) {
56. d[k++] = j;
57. j = path[j];
58. }
59. cout << "顶点" << G.getValue(i) << "的最短路径为：" << G.getValue(v);
60. while(k > 0)
61. cout << "->" << G.getValue(d[--k]);
62. cout << "，最短路径长度为：" << dist[i] << endl;
63. }
64. }
65. }
66. #endif /* Bellman_Ford_h */

3.main.cpp

1. /*
2. 测试数据：
3. 7 10
4. 0 1 2 3 4 5 6
5. 0 1 6
6. 0 2 5
7. 0 3 5
8. 1 4 -1
9. 2 1 -2
10. 2 4 1
11. 3 2 -2
12. 3 5 -1
13. 4 6 3
14. 5 6 3
15. */
16.  
17. #include "Bellman-Ford.h"
18.  
19. const int maxSize = 40;
20.  
21. int main(int argc, const char * argv[]) {
22. Graphlnk<char, int> G; // 声明图对象
23. int dist[maxSize], path[maxSize], v;
24. char u0;
25.  
26. // 创建图
27. G.inputGraph();
28. cout << "图的信息如下：" << endl;
29. G.outputGraph();
30. cout << "请输入起始顶点u0:" << endl;
31. cin >> u0;
32. v = G.getVertexPos(u0); // 取得起始顶点的位置
33. // 我把dist数组放到有向图头文件中，方便建立有向图时，同时初始化dist数组
34. BellmanFord(G, v, dist, path); // 调用BellmanFord函数
35. printShortestPath(G, v, dist, path); // 输出到各个顶点的最短路径
36. return 0;
37. }

测试结果：

以上就是本文的全部内容，希望对大家的学习有所帮助，也希望大家多多支持我们。

原文链接：https://blog.csdn.net/chuanzhouxiao/article/details/88876704