受杰森的《Almost Looks Like Work》启发，我来展示一些病毒传播模型。需要注意的是这个模型并不反映现实情况，因此不要误以为是西非可怕的传染病。相反，它更应该被看做是某种虚构的僵尸爆发现象。那么，让我们进入主题。
这就是SIR模型，其中字母S、I和R反映的是在僵尸疫情中，个体可能处于的不同状态。
- S 代表易感群体，即健康个体中潜在的可能转变的数量。
- I 代表染病群体，即僵尸数量。
- R 代表移除量，即因死亡而退出游戏的僵尸数量，或者感染后又转回人类的数量。但对与僵尸不存在治愈者，所以我们就不要自我愚弄了（如果要把SIR模型应用到流感传染中，还是有治愈者的）。
- 至于β(beta)和γ(gamma):
- β(beta)表示疾病的传染性程度，只要被咬就会感染。
- γ(gamma)表示从僵尸走向死亡的速率，取决于僵尸猎人的平均工作速率，当然，这不是一个完美的模型，请对我保持耐心。
- S′=?βIS告诉我们健康者变成僵尸的速率，S′是对时间的导数。
- I′=βIS?γI告诉我们感染者是如何增加的，以及行尸进入移除态速率（双关语）。
- R′=γI只是加上(gamma I)，这一项在前面的等式中是负的。
上面的模型没有考虑S/I/R的空间分布，下面来修正一下！
一种方法是把瑞典和北欧国家分割成网格，每个单元可以感染邻近单元，描述如下：
其中对于单元，和是它周围的四个单元。（不要因为对角单元而脑疲劳，我们需要我们的大脑不被吃掉）。
初始化一些东东。
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import numpy as npimport mathimport matplotlib.pyplot as plt %matplotlib inlinefrom matplotlib import rcParamsimport matplotlib.image as mpimgrcParams['font.family'] = 'serif'rcParams['font.size'] = 16rcParams['figure.figsize'] = 12, 8from PIL import Image |
适当的beta和gamma值就能够摧毁大半江山
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beta = 0.010gamma = 1 |
还记得导数的定义么？当导数已知，假设Δt很小的情况下，经过重新整理，它可以用来近似预测函数的下一个取值，我们已经声明过u′(t)。
初始化一些东东。
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import numpy as npimport mathimport matplotlib.pyplot as plt %matplotlib inlinefrom matplotlib import rcParamsimport matplotlib.image as mpimgrcParams['font.family'] = 'serif'rcParams['font.size'] = 16rcParams['figure.figsize'] = 12, 8from PIL import Image |
适当的beta和gamma值就能够摧毁大半江山
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beta = 0.010gamma = 1 |
还记得导数的定义么？当导数已知，假设Δt很小的情况下，经过重新整理，它可以用来近似预测函数的下一个取值，我们已经声明过u′(t)。
这种方法叫做欧拉法，代码如下：
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def euler_step(u, f, dt): return u + dt * f(u) |
我们需要函数f(u)。友好的numpy提供了简洁的数组操作。我可能会在另一篇文章中回顾它，因为它们太强大了，需要更多的解释，但现在这样就能达到效果：
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def f(u): S = u[0] I = u[1] R = u[2] new = np.array([-beta*(S[1:-1, 1:-1]*I[1:-1, 1:-1] + S[0:-2, 1:-1]*I[0:-2, 1:-1] + S[2:, 1:-1]*I[2:, 1:-1] + S[1:-1, 0:-2]*I[1:-1, 0:-2] + S[1:-1, 2:]*I[1:-1, 2:]), beta*(S[1:-1, 1:-1]*I[1:-1, 1:-1] + S[0:-2, 1:-1]*I[0:-2, 1:-1] + S[2:, 1:-1]*I[2:, 1:-1] + S[1:-1, 0:-2]*I[1:-1, 0:-2] + S[1:-1, 2:]*I[1:-1, 2:]) - gamma*I[1:-1, 1:-1], gamma*I[1:-1, 1:-1] ]) padding = np.zeros_like(u) padding[:,1:-1,1:-1] = new padding[0][padding[0] < 0] = 0 padding[0][padding[0] > 255] = 255 padding[1][padding[1] < 0] = 0 padding[1][padding[1] > 255] = 255 padding[2][padding[2] < 0] = 0 padding[2][padding[2] > 255] = 255 return padding |
导入北欧国家的人口密度图并进行下采样，以便较快地得到结果
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from PIL import Imageimg = Image.open('popdens2.png')img = img.resize((img.size[0]/2,img.size[1]/2))img = 255 - np.asarray(img)imgplot = plt.imshow(img)imgplot.set_interpolation('nearest') |
北欧国家的人口密度图（未包含丹麦）
S矩阵，也就是易感个体，应该近似于人口密度。感染者初始值是0，我们把斯德哥尔摩作为第一感染源。
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S_0 = img[:,:,1]I_0 = np.zeros_like(S_0)I_0[309,170] = 1 # patient zero |
因为还没人死亡，所以把矩阵也置为0.
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R_0 = np.zeros_like(S_0) |
接着初始化模拟时长等。
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T = 900 # final timedt = 1 # time incrementN = int(T/dt) + 1 # number of time-stepst = np.linspace(0.0, T, N) # time discretization # initialize the array containing the solution for each time-stepu = np.empty((N, 3, S_0.shape[0], S_0.shape[1]))u[0][0] = S_0u[0][1] = I_0u[0][2] = R_0 |
我们需要自定义一个颜色表，这样才能将感染矩阵显示在地图上。
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import matplotlib.cm as cmtheCM = cm.get_cmap("Reds")theCM._init()alphas = np.abs(np.linspace(0, 1, theCM.N))theCM._lut[:-3,-1] = alphas |
下面坐下来欣赏吧…
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for n in range(N-1): u[n+1] = euler_step(u[n], f, dt) |
让我们再做一下图像渲染，把它做成gif，每个人都喜欢gifs！
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keyFrames = []frames = 60.0 for i in range(0, N-1, int(N/frames)): imgplot = plt.imshow(img, vmin=0, vmax=255) imgplot.set_interpolation("nearest") imgplot = plt.imshow(u[i][1], vmin=0, cmap=theCM) imgplot.set_interpolation("nearest") filename = "outbreak" + str(i) + ".png" plt.savefig(filename) keyFrames.append(filename) images = [Image.open(fn) for fn in keyFrames]gifFilename = "outbreak.gif"writeGif(gifFilename, images, duration=0.3)plt.clf() |
